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集合代数とσ-代数 [ - Lebesgue積分]

まずは基本となる Lebesgue積分論 に於ける用語の定義です.

Def
X を集合 , M を X 上の部分集合族とする.
(1) φ ∈ M
(2) A ∈ M ⇒ Ac = X\A ∈ M
を満たす時 , M を 集合代数 と言う.
さらに集合代数 M が
(3) σ - 加法性 : ∀n ∈ N ( An ∈ M ) ⇒ ∪n=1 An ∈ M
を満たす時 , M を σ - 代数 と言う.
集合と σ - 代数 の組 (X , M) を 可測空間 と言う.



Prop
(X , M) を 可測空間とする. このとき, ∀n ∈ N ( An ∈ M ) ⇒ ∩n=1 An ∈ M
M を集合代数とすれば , A , B ∈ M ⇒ A\B ∈ M

( Proof )
(X , M) は測度空間なので, ∀n ∈ N ( An ∈ M) ⇒ Anc ∈ M.
これより, ∪n=1 Anc ∈ M.
故に, ∩n=1 An = (∪n=1 Anc)c ∈ M.

また, M を X 上の集合代数とすると
A , B ∈ M ⇒ Ac , Bc ∈ M となるので
Ac ∪ Bc ∈ M となる.
故に, A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c ∈ M.

なのでこれより, A \ B = (A ∩ Bc) ∈ M となる.


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